统计信号处理基础 习题解答6-7

题目：

假定观察到 ,其中 零均值协方差矩阵为C 的噪声（PDF未知）。幅度A是待估计量，求BLUE。如果讨论C 的特征矢量为 会发生什么情况？同时求最小方差

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解答：

显然有

与待估计量A 有线性关系。

根据BLUE性质，得到：

根据题目条件，s 是C 的特征向量，因此满足：

当特征值λ≠0 时，两边都乘 后得到：

即：

即s 也是 的特征向量，此时特征值为 。

考虑到 是单个元素，因此也可以表示成：

此时的方差满足：

在这种情况下，我们得到了 类似的结果。

物理意义

设计了一个电压放大器，对输入信号进行线性放大，现在需要估计放大器的增益。估计时，需要在放大器输入端加测试信号序列s ，此时在放大器的输出端观测到的输出信号序列为x ，同时观测的时候，会引入噪声序列w .

因此存在：

此时的问题是激励信号序列s 如何选取，不同的选取对估计量的方差是否有影响。

此题目对应的条件是：

此时，噪声协方差矩阵的特征值 ，对应的特征向量为任意非零向量。

因此，任意激励信号s 都是噪声协方差矩阵的特征向量，且特征值为 。

另外，我们可以用 估计输入信号的功率，结合此题的计算结果，放大器增益的BLUE估计为：

该估计量的方差为：

也就是通过提高测试信号的输入功率，即提高测试信号的信噪比，降低估计量的方差。

通常情况下，模拟电路估计信号增益时，s 可以采用正弦信号。