本章主要讲一些第一章和第二章衔接的内容。
对于可观测量 A A A，令 f = ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ f=(\hat A-\lang A\rang)\Psi f=(A^−⟨A⟩)Ψ，则 A A A方差/不确定性为 σ A 2 = ⟨ f ∣ f ⟩ \sigma_A^2=\lang f|f\rang σA2=⟨f∣f⟩。
对于 B B B，令 g g g，同样有 σ B 2 = ⟨ g ∣ g ⟩ \sigma_B^2=\lang g|g\rang σB2=⟨g∣g⟩。
根据柯西施瓦茨不等式， σ A 2 σ B 2 = ⟨ f ∣ f ⟩ ⟨ g ∣ g ⟩ ≥ ∣ ⟨ f ∣ g ⟩ ∣ 2 \sigma_A^2\sigma_B^2=\lang f|f\rang\lang g|g\rang\ge|\lang f|g\rang|^2 σA2σB2=⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩≥∣⟨f∣g⟩∣2。
对任意复数 z z z， ∣ z ∣ 2 = R e ( z ) 2 + I m ( z ) 2 ≥ I m ( z ) 2 = [ 1 2 i ( z − z ∗ ) ] 2 |z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2\ge Im(z)^2=[\frac{1}{2i}(z-z^*)]^2 ∣z∣2=Re(z)2+Im(z)2≥Im(z)2=[2i1(z−z∗)]2。让在 y y y轴上面的转下来。
如果 z = ⟨ f ∣ g ⟩ z=\lang f|g\rang z=⟨f∣g⟩就意味着 ∣ ⟨ f ∣ g ⟩ ∣ 2 ≥ [ 1 2 i ( ⟨ f ∣ g ⟩ − ⟨ g ∣ f ⟩ ) ] 2 |\lang f|g\rang|^2\ge[\frac{1}{2i}(\lang f|g\rang-\lang g|f\rang)]^2 ∣⟨f∣g⟩∣2≥[2i1(⟨f∣g⟩−⟨g∣f⟩)]2。
又
⟨
f
∣
g
⟩
=
⟨
(
A
^
−
A
ˉ
)
Ψ
∣
(
B
^
−
B
ˉ
)
Ψ
⟩
=
⟨
Ψ
∣
(
A
^
−
A
ˉ
)
(
B
^
−
B
ˉ
)
Ψ
⟩
中跳公式，见升降算符的性质
=
⟨
Ψ
∣
A
^
B
^
Ψ
⟩
−
B
ˉ
⟨
Ψ
∣
A
^
Ψ
⟩
−
A
ˉ
⟨
Ψ
∣
B
^
Ψ
⟩
+
A
ˉ
B
ˉ
⟨
Ψ
∣
Ψ
⟩
=
A
^
B
^
‾
−
A
ˉ
B
ˉ
同样， ⟨ g ∣ f ⟩ = B ^ A ^ ‾ − A ˉ + B ˉ \lang g|f\rang=\overline{\hat B\hat A}-\bar A+\bar B ⟨g∣f⟩=B^A^−Aˉ+Bˉ。
因此 ⟨ f ∣ g ⟩ − ⟨ g ∣ f ⟩ = [ A ^ , B ^ ] ‾ \lang f|g\rang-\lang g|f\rang=\overline{[\hat A,\hat B]} ⟨f∣g⟩−⟨g∣f⟩=[A^,B^]。
最后就是 σ A 2 σ B 2 ≥ ( 1 2 i [ A ^ , B ^ ] ‾ ) 2 \sigma_A^2\sigma_B^2\ge \left(\frac{1}{2i}\overline{[\hat A,\hat B]}\right)^2 σA2σB2≥(2i1[A^,B^])2
⟨ f ∣ g h ⟩ = ⟨ g † f ∣ h ⟩ \lang f|gh\rang=\lang g^\dagger f|h\rang ⟨f∣gh⟩=⟨g†f∣h⟩