凸优化问题定义及其凸函数、凸集、仿射函数相关概念和定义

1.凸优化相关概念

1.1凸集

1.1.1 定义

1.1.2 几何定义

1.2凸函数

1.2.1 定义

对于凸子集C中任意两个向量$x_1$、$x_2$有$f\left(\left(x_1+x_2\right)/2\right)\le \left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right)/2$成立。

1.2.2 几何定义

1.2.2.1 两点法

1.2.2.2 一点法

1.3仿射函数

仿射函数即由 1 阶多项式构成的函数，一般形式为 f(x)=Ax+b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量，b是一个 m 向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。

2. 凸优化问题

2.1定义

假设目标函数f、不等式约束函数g、等式约束h在定义域内是连续可微的，且目标函数f和不等式约束函数g是凸函数，等式约束h是仿射函数（线性函数），则这种约束最优化问题称为凸优化问题。

2.2 形式

Reference：
1.https://zhuanlan.zhihu.com/p/441144463（凸函数）
2.https://baike.baidu.com/item/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%87%BD%E6%95%B0/9276178?fr=aladdin（仿射函数）
3. https://blog.csdn.net/promisejia/article/details/81241201（凸优化）
4. KKT Conditions, First-Order and Second-Order Optimization, and Distributed Optimization: Tutorial and Survey （凸优化）